3. Matematika

A. BILANGAN BERPANGKAT

Bilangan yang memiliki pangkat di dalam matematika terdiri dari: bilangan dengan pangkat bulat positif (bilangan asli), pangkat bulat negatif, pangkat nol, pangkat rasional dan pangkat nyata. Notasi pangkat digunakan untuk menerjemahkan hasil kali bilangan berulang dalam bentuk yang lebih sederhana. Seperti misalnya, kita memiliki tiga faktor a yang sama, sehingga dapat menggunakan lambang ³ untuk menyatakan (axaxa) , dengan 3 dituliskan di sebelah kanan atas yang dinamakan pangkat dari sebuah dan menyatakan jumlah faktor yang terulang, dapat ditulis a ³ = axaxa

Bilangan berpangkat yang paling sering diselesaikan antara lain bilangan berpangkat positif, bilangan berpangkat negatif dan bilangan berpangkat nol. Agar lebih jelas, kita bahas satu per satu pengertian dan sifat-sifat dari bilangan berpangkat itu, yuk !

Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yang dimiliki pangkat / eksponen positif . Bilangan berpangkat positif memiliki sifat-sifat tertentu, di mana terdiri dari a, b, bilangan nyata m, n, yang merupakan bilangan bulat positif. Sifat-sifat bilangan berpangkat positif sebagai berikut:

Selanjutnya, coba kerjakan contoh soaldengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat positif di bawah ini:

Sederhanakanlah bilangan berpangkat berikut ini!

Jawab:

Bilangan Berpangkat Negatif

Tidak semua bilangan berpangkat bernilai positif, beberapa pangkat bilangan bulat negatif.

Contoh soal bilangan berpangkat negatif:

1. Nyatakan dengan pangkat positif bilangan berpangkat berikut ini

Jawab:

2. Nyatakan dengan pangkat negatif bilangan berpangkat berikut ini

Jawab:

3. Sederhanakanlah bilangan berpangkat berikut ini

Jawab:

Bilangan Berpangkat Nol

Pasukan, selain bilangan berpangkat positif dan bilangan negatif, dalam matematika juga ada bilangan berpangkat nol. Sebelumnya kita sudah tahu itu. Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat positif dapat diperoleh. Demi sifat bilangan berpangkat nol adalah :

Jika bilangan nyata dan tidak sama dengan 0, maka

Supaya lebih jelas, coba kerjakan soal soal bilangan berpangkat nol di bawah ini:

Sederhanakanlah bilagan berpangkat berikut:

Jawab:

Version:1.0 StartHTML:000000236 EndHTML:000148236 StartFragment:000016523 EndFragment:000148090 StartSelection:000016703 EndSelection:000148084 SourceURL:https://tomyherawansman48jkt.blogspot.com/2015/06/bab-v-transformasi.html Materi Matematika Kelas XI Semester 2: Bab V Transformasi

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

Translasi (Pergeseran)
Refleksi(Pencerminan)
Rotasi(Perputaran)
Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya :TRANSLASI / PERGESERAN Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

Contoh Soal :
Soal No. 1
a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan darititik A (5, 10) oleh translasi

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Soal No. 2
Disediakan suatu persamaan garis lurus
Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)

Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:
x’ = x + 2 → x = x’ – 2
y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal
y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:
y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x

Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5
Misal:
Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)
Titik B, untuk Y = 0 → x = –⁵ /₃ dapat titik B (– ⁵/₃ , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)
A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:

Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

ax + by = c
Translasi T (p, q)
Hasil :
ax + by = c + ap + bq

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.
y = 3x + 5
atau
3x − y = − 5
oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:
3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)
3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0
atau
y = 3x

REFLEKSI / PENCERMINAN Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y Pencerminan terhadap titik (0, 0)Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –xPencerminan terhadap garis y = mx + cJika m = tan θ maka:Contoh Soal :

6.) Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8

Pembahasan
Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k
a) Terhadap garis x = 10
x = h
(a, b) ———-> (2h − a, b)

x = h
(3, 5) ———-> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5)

b) Terhadap garis y = 8
y = k
(a, b) ———-> (a, 2k − b)

y = k
(3, 5) ———-> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11)

7.) Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x

Pembahasan
a) Terhadap garis y = x
y = x
(a, b) ———-> ( b, a)

y = x
(3, 5) ———-> (5, 3)

b) Terhadap garis y = − x
y = − x
(a, b) ———-> ( − b, − a)

y = − x
(3, 5) ———-> (− 5, − 3)
ROTASI / PERPUTARAN

rotasi	matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
½ p	é0 -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
p	é-1 0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
3/2 p	é0 -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
q	écosq -sinq ù ësinq cosq û	(x,y) ® (x cos q – y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):Contoh Soal :
1.) Vektor

diputar terhadap titik asal O sebesar

searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis

, menghasilkan vektor

. Jika

, maka matriks

= …

Jawab :
Matriks tranformasi untuk rotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut putar

(searah jarum jam

\displaystyle \begin{aligned} M_1 = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}

Matriks tranformasi untuk Refleksi terhadap

\displaystyle \begin{aligned} M_1 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

ditransformasi berturut-turut oleh

dan

menjadi

dengan hubungan

, sehingga

adalah matriks komposisi dari

dan

\displaystyle \begin{aligned} A &= M_2 \circ M_1 \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}

Jawaban : B
3.) Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P’. Tentukan koordinat dari titik P’.

Pembahasan
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α

Sehingga:

Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jamDILATASI / PENSKALAAN Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala kRumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Contoh soal:1. Tentukan bayangan persegi panjang ABCD denganA(2,2) , B(-2,2) , C(-2,-2) dan D(2,-2)jika dilakukan transformasi Dilatasi pusat O dan skala 3 adalah….jawab :
Jadi hasilnya A'(6,6) , B'(-6,6) , C'(-6,-6) dan D'(6,-6)

2. Bayangan garis x – y – 3 = 0 oleh D(O,4) adalah…..Jawab :Transformasinya adalah Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 4

dengan menghilangkan tanda aksen dan mengalikan dengan 4 maka bayangan / peta / hasilnya adalah x – y – 12 = 0
Bagaimana jika mendilatasikan dengan pusat di suatu titik yangbukan titik O(0,0) misal A(p,q) dan faktor skala k ….???maka bentuk operasinya menjadi :
atau dapat ditulis :k.(x-p) = x’ – p dan k.(y-q) = y’ – q
3. Bayangan titik W(2,6) oleh dilatasi dengan pusat (2,-1) dan faktorskala -2 adalah ……Jawab :-2(2-2) = x’ – 2 maka x’ = 2-2(6+1) = y’ +1 maka y’ = – 15jadi bayangannya W'(2,-15)
4. Bayangan garis y = x – 3 karena dilatasi faktor skala 4dengan pusat A(1,2) adalah …..Jawab :atau dapat ditulis menjadisehingga bayangannya adalah : atau ditulis y = x + 15 atau x – y + 15 = 0

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

KOMPOSISI TRANSFORMASImerupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.Komposisi Khusus :1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.
LUAS HASIL TRANSFORMASITransformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasitidak mengubah luas suatu bendaMencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)Penyelesaian :cara 1 : cara langsungcara 2 : menggunakan matriks

2.) Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah….
A. x + y − 3 = 0
B. x − y − 3 = 0
C. x + y + 3 = 0
D. 3x + y + 1 = 0
E. x + 3y + 1 = 0
(UN Matematika Tahun 2010 P04)

Pembahasan

Transformasi oleh matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:

Terlihat bahwa
y’ = − y
y = − y’

x’ = x + 2y
x’ = x + 2(− y’)
x’ = x − 2y’
x = x’ + 2y’

Jadi:
x = x’ + 2y’
y = − y’

Masukkan ke persamaan awal
y = x + 1
(− y’) = (x’ + 2y’ ) + 1
x’ + 3y’ + 1 = 0

Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0
3.)Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks

dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah….
A. (−11, 6)
B. (−6, 11)
C. (−5, 11)
D. (11, −5)
E. (11, −6)

Pembahasan
Titik A, dengan transformasi matriks

akan menghasilkan titik A’, yang koordinatnya:

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A”, dimana titik A” koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.

Jadi A” koordinatnya adalah (11, −6)
4.) Lingkaran (x − 2)² + (y + 3)² = 25 ditransformasikan oleh matriks

dilanjutkan oleh matriks

maka bayangan lingkaran itu adalah….
A. x² + y² + 6x − 4x − 12 = 0
B. x² + y² − 6x − 4x − 12 = 0
C. x² + y² − 4x − 6x − 12 = 0
D. x² + y² + 4x − 6x − 12 = 0
E. x² + y² + 4x + 6x − 12 = 0

Pembahasan
(x − 2)² + (y + 3)² = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, − 3) oleh transformasi

akan menjadi P’:

Titik P’ ini oleh transformasi kedua

akan menjadi P” dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini: